Гипотеза Пуанкаре.
Понять суть загадки дано даже не каждому математику. В общих словах гипотеза Пуанкаре гласит, что трехмерная сфера — это единственная трехмерная штука, поверхность которой может быть стянута в одну точку своеобразным "гипершнуром". 
Жюль Анри Пуанкаре предположил такое в 1904 году. Теперь Перельман убедил, что французский тополог был прав. Доказательства российского математика, подписанные "Гриша Перельман", были опубликованы в интернете в 2002 и 2003 годах в виде так называемых препринтов с краткими логическими построениями и формулами.
Доказательство помогает понять, какая форма у нашей Вселенной. Вероятнее всего, она и есть та самая трехмерная сфера. Но если Вселенная — единственная "фигура", которую можно стянуть веточку, то, наверное, можно и растянуть из точки. Что служит косвенным подтверждением теории Большого взрыва, которая утверждает: как раз из точки Вселенная и произошла.

За что ещё дают миллион долларов.
Одной гипотезой Пуанкаре "головоломки тысячелетия" не заканчиваются. Есть ещё простор для мозгового штурма. Кто знает, может быть в следующий раз мир опять потрясёт событие о том, что и вторую загадку разгадали в России.
В 1998 году на средства миллиардера Лэндона Клея (Landon T. Clay) в Кембридже (США) был основан Математический институт его имени (С1ау Mathematics Institute) для популяризации математики. 24 мая 2000 года эксперты института выбрали семь самых, по их мнению, головоломных проблем. И назначили по миллион долларов за каждую. Список получил название Millennium Prize Problems.

1. Проблема Кука.
Нужно определить: может ли проверка правильности решения какой-либо задачи быть более длительной, чем получение самого решения. Эта логическая задача важна для специалистов по криптографии — шифрованию данных.

2. Гипотеза Римана.
Существуют так называемые простые числа, например, 2, 3, 5, 7 и т.д., которые делятся только на один и на самих себя. Сколько их всего, не известно. Риман полагал, что это можно определить и найти закономерность их распределения. Кто найдет — тоже окажет услугу криптографии.

3. Гипотеза Берча и Свиннертон-Дайера.
Проблема связана с решением уравнений с тремя неизвестными, возведенными в степени. Нужно придумать, как их решать, независимо от сложности.

4. Гипотеза Ходжа.
В XX веке математики открыли метод исследования формы сложных объектов. Идея в том, чтобы использовать вместо самого объекта простые "кирпичики", которые склеиваются между собой и образуют его подобие. Нужно доказать, что такое допустимо всегда.

5. Уравнения Навье — Офиса.
О них стоит вспомнить в самолете. Уравнения описывают воздушные потоки, которые удерживают его в воздухе. Сейчас уравнения решают приблизительно, по приблизительным формулам. Нужно найти точные и доказать, что в трехмерном пространстве существует решение уравнений, которое всегда верно.

6. Уравнения Янга — Миллса.
В мире физики есть гипотеза: если элементарная частица обладает массой, то существует и ее нижний предел. Но какой — не понятно. Нужно до него добраться. Это, пожалуй, самая сложная задачка. Для ее решения необходимо создать "теорию всего" — уравнения, объединяющие все силы и взаимодействия в природе. Тот, кто сумеет, наверняка получит и Нобелевскую премию.
Вот так, казалось бы, всего-то дел, решил задачку и отправляйся за заслуженным миллионом. Но если подходить серьёзно, то нет ничего невозможного. Григорий Перельман это доказал.

Всяческих вам успехов!